圆锥曲线中两个充要条件命题及变式 圆锥曲线命题背景

　　摘要：圆锥曲线中有许多优美的曲线性质，有些命题及其逆命题都正确，如果深入研究会发现很多有趣的结论.本文摘取几朵“浪花”供大家赏析.　　关键词：圆锥曲线；命题及其逆命题；变式

　　命题1设双曲线－=1（a>0，b>0）的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，右准线为l.过点F作直线交双曲线右支于P，Q两点，直线PB交l于点M，且=λ（λ>0）.?摇求证：A，M，Q共线的充要条件是c=2a（其中c=）.

　　图1

　　证明设F（c，0）（其中c=），P（x1，y1），Q（x2，y2），则=（c－x1，－y1），=（x2－c，y2）.

　　因为=λ?摇，

　　所以c－x1=λ（x2-c），?摇－y1=λy2.

　　因为y=b2-1，y=b2-1，代入上式，

　　解得

　　x1=（1+λ）c+（1-λ）?摇，x2=（1+λ）c-（1-λ）?摇.

　　又设M，y0，A（-a，0），B（a，0），

　　因为P，B，M三点共线，

　　所以kPB=kBM，即=.

　　从而y0=-a.

　　所以=+a，y0=+a，-a，=x2-，y2-y0.

　　因为x2－=（1+λ）c-（1-λ）?摇－=（1+λ）c-（1-&la ……此处隐藏1366个字…… 方程为y+b=k•（x－a－2p），B（x1，y1），C（x2，y2）.

　　由y+b=k（x－a－2p），y2=2px，

　　消x得－－a－2p－=0.

　　由根与系数的关系得

　　y1+y2=，y1y2=2p－a－2p－.

　　所以x1+x2=•（y1+y2）++2a+4p=++2a+4p，

　　x1x2==a+2p+2.

　　于是•=（x1-a）（x2-a）+（y1-b）•（y2-b）=x1x2－a（x1+x2）+a2+y1y2－b（y1+y2）+b2=a+2p+2－a++2a+4p+a2+2p•－a－2p－－b•+b2=0.

　　所以⊥，

　　即AB⊥AC?摇.

　　故原命题成立.

　　用类似方法可以证明以下两命题成立：

　　变式1将命题2中的点“A（a，b）”改成“O（0，0）”时，结论变成“OB⊥OC的充要条件是直线BC过定点M（2p，0）”，这是一道常见的抛物线题目.

　　变式2将变式1中的抛物线换成椭圆+=1（a>b>0）、双曲线-=1（a>0，b>0，a≠b）时，结论变成“OB⊥OC的充要条件是直线BC过定点M•2a，0（其中e为离心率）”.

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