[圆锥曲线定长弦的中点问题及推广]圆锥曲线中点弦公式

　　〔关键词〕圆锥曲线；定长弦的中点；轨迹方程；　　二次曲线　　〔中图分类号〕G633.63〔文献标识码〕C　　〔文章编号〕1004―0463（2008）09（B）―0026―01

　　[题目]椭圆■+■=1中，过点P（1，1）的弦被点P平分，求此弦的长.

　　解：设过点P（1，1）的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，有■+■=1，■+■=1，两式相减得■（x1-x2）（x1+x2）+■（y1-y2）（y1+y2）=0.

　　∵P为AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

　　∴■=-■=-■，∴kAB=-■，∴弦所在直线方程为x+2y-3=0.联立椭圆与直线的方程■+■=1，x+2y-3=0.消去y得3x2-6x+1=0.设3x2-6x+1=0的两根分别为x1，x2，即|AB|=■■=■・■=■.

　　此题用设而不求的方法使解法简便易行.但是如果已知圆锥曲线方程，求弦长为定值的弦的中点的轨迹方程就感觉很难下手，也很难求解.下面就圆锥曲线的一般形式的定长弦的中点轨迹问题进行讨论.

　　[推广]设圆锥曲线C：f（x，y）=Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）为曲线C上的点，且

　　|P1P2|=2l，求动弦P1P2的中点M（x，y）的轨迹方程.

　　解析：∵M是P1P2的中点，∴x1+x2=2x，①

　　y1+y2=2y.②

　　设直线P1P2的斜率为k，则y ……此处隐藏675个字…… x+2Ey+F=0，P1、P2为曲线C上的点，且|P1P2|=2l，那么动弦P1P2的中点M的轨迹方程为[（Ax+D）2+（Cy+E）2+AC・l2]・f（x，y）+（AE2+CD2-ACF）・l2=0.

　　对定理1推广到二次曲线得到如下定理.

　　[定理2]已知二次曲线C：f（x，y）=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，P1、P2为曲线C上的点，且|P1P2|=2l，那么动弦P1P2的中点M的轨迹方程为[（Ax+By+D）2+（Bx+Cy+E）2-（B2-AC）・l2]・f（x，y）+（AE2+CD2-2BDE+B2F-ACF）・l2=0.

　　例1已知椭圆方程为x2-2xy+3y2-2x-1=0,点M（1，1）为椭圆内一点，P1P2为以M为中心的椭圆的一条弦，求此弦长.

　　解:将A=1，B=-1，C=3，D=-1，E=0，F=-1，x=1，y=1代入式子[（Ax+By+D）2+（Bx+Cy+E）2-（B2-AC）・l2]・

　　f（x，y）+（AE2+CD2-2BDE+B2F-ACF）・l2=0中，得l=■，则可得|P1P2|=2l=2■.

　　例2已知二次曲线C：x2-xy+2y2-2x-y-1=0，试求曲线C中，弦长为定值2的动弦的中点的轨迹方程.

　　解：因为A=1，B=-■，C=2，D=-1，E=-■，F=-1，l=1，所以由定理2得到（5x2-12xy+17y2-6x-4y+12）・（x2-xy+2y2-2x-y-1）+18=0，这就是所求的轨迹方程.

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