平均值不等式的证明【平均值不等式的证明及其应用】

第１６卷第５期２０１３年９月高等数学研究

ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　　Ｎｏ．５Ｖｏｌ．１６，

，Ｓｅ．２０１３ｐ

平均值不等式的证明及其应用

卢胜森，云霄霄

（）内蒙古大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特０１００２１

ｎ

ｎ

ｎ

摘

ｎ

…，，要　设ａ若借助数学归纳法可相应地证明ａａ１，２，ｎ为正数，ｉ＝１或ｉ＝１ｉ≥ｎ或∏ａ∑ａ∑ａ

ｉ＝１

ｉ＝１

ｉ＝１

ｎ

这两个不等式可用于证明平均值不等式，并由此得出三者相互等价．实例说明平均值不等式在求数列ｎ．ｉ≤１∏ａｉ＝１

极限方面的应用．

关键词　数学归纳法；平均值不等式；数列极限中图分类号　Ｏ１２２．３；Ｏ１７１

文献标识码　Ａ

（）文章编号　１００８１３９９２０１３０５００４７０４－－－

］给出了平均值不等式的多种证明方文［１－２］分别给出平均值不等式的多种应用范法，文［３－４例．本文将给出平均值不等式的另外两种证明方法，同时，实例说明它在求数列极限方面的应用．

…，引理１　对于任意ｎ个正数ａ若它ａａ１，２，ｎ，们满足

ｎ

当且仅当ａａ１＝ａ２＝…＝ａｋ１＝ａｋｋ１＝１时等号－＋

进而有成立．

ｋ１＋

ｋ１－ ……此处隐藏6283个字…… ａｎｖａｌｕｅｉｎｅｕａｌｉｔａｒｅｅｕｉｖａｌｅｎｔ．Ｅｘａｍｌｅｓａｒｅ　　　　　　　　　　　ｑｑｙｑｐ　ｒｅｓｅｎｔｅｄｔｏｓｈｏｗｔｈｅｕｓｅｏｆｔｈｅｍｅａｎｖａｌｕｅｉｎｅｕａｌｉｔ．　　　　　　　　　ｐｑｙ

：，ｍ，Ｋｅｗｏｒｄｓａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎｅａｎｖａｌｕｅｉｎｅｕａｌｉｔｌｉｍｉｔｙ　ｍ　　　ｑｙ

欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍

（上接第２０页）

ＡｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＣｏｕｎｔａｂｉｌｉｔａｎｄＤｅｎｓｉｔｏｆＲａｔｉｏｎａｌＮｕｍｂｅｒｓ　　　　　　ｐｐｙｙ　　

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