立体几何中的轨迹和最值问题:立体几何的轨迹问题

立体几何中轨迹和最值问题

高三数学组 梅向平 2011、11、30

在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化。对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题。对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性。

立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题。其一般方法有：

1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均

值定理等，求出最值。

一、轨迹问题

【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC . 则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )

D

A ． B ． C ． D ．

解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、

BD . 设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG 。由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC . 又∵EG ∥SB

∴EG ⊥AC

∴AC ⊥平面EFG ，

∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE . 另解：本题可用排除法快速求解。B 中P ……此处隐藏3135个字…… A C

∴∠A B

C

1C 1C ＝135︒

由余弦定理可求得A 1C ＝52

【例11】 如图，正三棱锥P —ABC 有一个半

P 径为R 的内切球，求所有这样的正三棱锥中体积A 1 C 1

最小的正三棱锥的体积。

C 1解：设正三棱锥的底边边长为x ，高为h (h >2R )

A 1

1

则AD =3x ，PD =h 213) 2

232h 2+x 212

由V P -ABC =V O -ABC +3V O -CBP 得S △ABC ·h =S △ABC ·R +3S △PBC ·R ∴S △ABC (h －R )=3S △PBC ·R

∴342(h －R 12h 2+122·R A O

E

∴x (h －R )= 12h +x R

C 平方得，(h －R ) 2x 2=(12h 2+x 2) R 2 2

B ∴x 2=12R h 2

h －2Rh

1321312R 2∴三棱锥的体积V (h )=34x h =34h 2h 2

h －2Rh =h －2R 3R 2

3R 2[4R +(h －2R )+4R

2h －2R

R 2[4R+4R ]

(等号成立当且仅当h －2R =4R 2

h －2R

h =4R 时)

∴当h =4R 时，三棱锥体积最大，最大值为8R 2。